Divisibilité par 7 puissance 9 - Corrigé

Énoncé

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ . Montrer que, si $7$ divise $n^{10}$ , alors $N={\displaystyle \frac{n^{10}}{7}}$ est divisible par $7^9$ .

Solution

Comme $7$ divise $n^{10}$ et $7$ est premier, on en déduit que $7$ divise $n$ . Ainsi, il existe un entier $m\in \mathbb{N}$ tel que $n=7m$ .
On en déduit que $n^{10}=(7m{)}^{10}=7^{10}{m}^{10}$ ,
et donc  $\begin{array}{r}N=\frac{n^{10}}{7}=\frac{7^{10}{m}^{10}}{7}=7^9{m}^{10}=7^9{m}^{\prime }\end{array}$  
avec $m^{\prime }=m^{10}\in \mathbb{N}$ , donc $N$ est divisible par $7^9$ .